Que yo sepa, no existe una forma directa y confiable de determinar esto en un entorno Linux, y mucho menos una solución multiplataforma. Deberá implementar una forma específica de Linux para detectar esto.

Como @fredrik mencionó en los comentarios, el uso de PosixSignal le permitiría saber que se le solicita que finalice su aplicación, pero no por qué. No obstante, puede examinar la situación al recibir un SIGTERM para determinar si el sistema realmente se está cerrando. Por ejemplo, ejecutar systemctl is-system-running devolvería "deteniendo" si ese es el caso.

Si asumimos un entorno de escritorio Linux moderno, una alternativa más robusta podría ser suscribirse a la señal D-bus PrepareForShutdown . De la documentación de systemd :

Las señales PrepareForShutdown() y PrepareForSleep() se emiten cuando se ha solicitado una suspensión o apagado del sistema y está a punto de ejecutarse, así como después de que se completó (o falló) la suspensión/apagado...

La biblioteca Tmds.Dbus proporciona una API asíncrona para escuchar esa señal en su aplicación .net. Aún deberá lidiar con el hecho de que recibirá esto Y SIGTERM en secuencia.