Aquí hay algunos pensamientos aleatorios que podrían ayudar.

• ¿Hay alguna razón especial por la que necesite usar PostgreSQL 13? Si pudiera volver al 10/11, entonces podría usar RDS Proxy y luego sus problemas se resolverían.
• Del mismo modo, si desea utilizar RDS Aurora, podrá combinarlo con RDS Proxy.
• Puede usar PgBouncer (u otro proxy de terceros; hay muchos), pero hacer que esto funcione con RDS será bastante doloroso. La mayoría de ellos requerirán que active una instancia de ECS, ejecute el proxy en esto y luego se conecte al proxy; esto es deliberadamente vago, ya que cada proxy funciona de manera ligeramente diferente
• Podría aumentar la cantidad de conexiones de base de datos permitidas, pero esto generalmente es una mala idea, ya que solo está pateando la lata en el camino.
• Puede buscar soluciones de escalado horizontal o vertical, pero nuevamente, estas no resolverán el problema subyacente, solo lo harán no tan evidente y tomarán más golpes simultáneos antes de que vuelva a surgir.
• Podría colocar una cola frente a su base de datos, SNS o SQS, y solo tener una conexión. Esto está bien si solo está escribiendo datos en la base de datos y no está demasiado preocupado por el tiempo que tarda en completarse. Sin embargo, presenta una arquitectura completamente diferente, y que anula muchos de los puntos buenos de usar RDS en primer lugar.
• Si necesita leer datos, puede usar réplicas de lectura, pero esta es solo otra forma de escalado/fragmentación horizontal.
• Del mismo modo, podría deshacerse del uso de Lambdas, ya que estos son el "enjambre de abejas enojadas" que causan el problema en primer lugar, pero nuevamente, es un gran cambio arquitectónico.

En mi experiencia, obtener una solución de agrupación de conexiones debería ser lo suficientemente bueno para resolver la mayoría de los casos de uso, pero aún existen límites cuando se combinan dos tecnologías que no son 100 % compatibles.