Parece que agregar el carácter de comillas dobles " a la información sobre herramientas HTML personalizada romperá la información sobre herramientas en sí, haciendo que el navegador piense que el título de la información sobre herramientas ha terminado y analice una parte del título de la información sobre herramientas como HTML externo.
Aquí hay un jsfiddle .
Actualizó su código de comillas dobles a comillas simples dentro del atributo de título.
<button type="button" class="btn btn-danger" data-bs-toggle="tooltip" data-bs-html="true" title="<span style=' color : red'>Red Text</span><br><span style='color : green'>Green Text</span>">La respuesta de @poo no me funciona, al usar clases me dio la respuesta que buscas.
Aquí hay un https://jsfiddle.net/p5bzmqd1/
<button type="button" class="btn btn-danger" data-bs-toggle="tooltip" data-bs-html="true" title="<span class=redToolTip>Red Text</span><br><span class=greenToolTip>Green Text</span>"> I'm a problematic tooltip </button>