Tal vez como un "cronómetro", inicie una new Date() cuando su usuario abra una pestaña y reste una new Date() con la hora de inicio cuando su usuario cierre una pestaña?

Necesita un temporizador, permisos de almacenamiento y pestañas y un script de fondo.

El script bg necesita un evento y luego verifica si es la URL deseada:

 window.addEventListener('load', function () { chrome.tabs.getSelected(null,function(tab){ myURL=tab.url; });

Si se cumple la URL deseada, recupere la marca de tiempo actual y guárdela en una variable.

Si el usuario cierra la pestaña o la ventana de Chrome, atrápalo:

 chrome.tabs.onRemoved.addListener(function(tabid, removed) { alert("tab closed") }) chrome.windows.onRemoved.addListener(function(windowid) { alert("window closed") })

Con la captura, obtiene la marca de tiempo actual nuevamente, calcule el final - comience y puede guardarlo, por ejemplo, en sessionStorage.