El siguiente código plunkr hace casi exactamente lo que quiero hacer:

https://embed.plnkr.co/plunk/l63VJk

La última sección titulada "¿Puedo cargar varios archivos?" es en lo que me centro. Me permite seleccionar varios archivos para cargar, pero SÓLO si selecciono cargarlos todos de una sola vez (haciendo clic en "elegir archivos", luego resaltando varios archivos y haciendo clic en "abrir"). Quiero poder cargar un archivo, luego hacer clic en elegir archivos nuevamente y cargar más archivos, sin que se sobrescriban los originales.

¿Cómo haría para hacer esto?