¿Qué significa un número entre paréntesis después de una instancia de enumeración? ¿Es un constructor de enumeración?

JANUARY(1) , FEBRUARY(2) , etc... son de hecho constructores de enumeración.

Pero no es necesario un número para especificar un constructor en una enumeración. Aquí tiene un número, pero podría ser cualquier otra cosa y también podría tener tantos argumentos como sea necesario.

Tenga en cuenta que, en realidad, la declaración de enumeración pierde el campo index y no se pudo compilar.
Sería correcto:

 public static enum Month { JANUARY(1), FEBRUARY(2), MARCH(3), APRIL(4), MAY(5), JUNE(6), JULY(7), AUGUST(8), SEPTEMBER(9), OCTOBER(10), NOVEMBER(11), DECEMBER(12); private int index; Month(int index) { this.index = index; } }

Agregaría que una enumeración es sobre todo una clase. Entonces, cada valor de enumeración (aquí JANUARY , FEBRUARY , ...) se instanciará invocando el constructor de clase.
Y como para cualquier clase, como no define un constructor, el compilador generará un valor predeterminado sin argumento.
Entonces es válido:

 public static enum Fruit { APPLE(), ORANGE(); Fruit() { } }

Eso también es válido:

 public static enum Fruit { APPLE(), ORANGE(); }

Pero para enumeraciones sin argumentos en el constructor, generalmente usamos esta conveniente sintaxis reservada para enumeraciones:

 public static enum Fruit { APPLE, // with no parenthesis ORANGE; // with no parenthesis }

Este es el constructor invocado por cada valor de enumeración:

 Month(int index) { this.index = index; }