La compatibilidad con IE6 no es una buena idea; incluso si está trabajando en algún quiosco heredado o algo así, ¡haga que se actualicen!

Pero a tus respuestas:

1. No/Sortof: la otra forma de hacer lo que desea es con localStorage, que no se introdujo en IE hasta 8. Puede rediseñar su aplicación para que, en lugar de "páginas" diferentes, sea una aplicación web de una sola página; pero eso no es placer en IE6.
2. No: para que javascript almacene valores en el servidor, debe enviar datos a través de Internet. Cuando el cliente (su javascript en el navegador) envía datos al servidor, es decir, por definición, accede a una API. (No sé qué quiere decir con "o cualquier API que funcione en navegadores antiguos y nuevos"; esa cláusula no tiene ningún sentido para mí).
3. Tal vez, pero no quieres. Se impide que Javascript acceda al sistema de archivos local sin el permiso explícito del usuario, por lo que no puede usar el sistema de archivos local para almacenar datos de forma invisible. Para eso está localStorage, pero no está disponible en IE6. Si desea guardar algo explícitamente como un archivo, con el usuario eligiendo el archivo desde una ventana emergente estándar, ese no es un proceso fácil, especialmente en navegadores anteriores.

En resumen: no sé por qué está usando IE6, y no sé por qué no está usando cookies o una llamada ajax al servidor, pero esas serían sus mejores opciones.