Tengo datos de dos sitios diferentes almacenados en almacenamiento local, digamos xyz.com y abc.com. La cuestión es que solo puedo acceder a los datos en qué sitio estoy actualmente. ¿Cómo puedo acceder al almacenamiento local de abc.com si estoy en xyz.com?
Como otros ya han señalado en los comentarios, esto no es posible.
Si lee la documentación de la API de almacenamiento web (que consta de localStorage y sessionStorage), verá esto.
Se utiliza un objeto de almacenamiento diferente para sessionStorage y localStorage para cada origen: funcionan y se controlan por separado.
Un origen en este contexto se define así.
El origen del contenido web está definido por el esquema (protocolo), el nombre de host (dominio) y el puerto de la URL utilizada para acceder a él. Dos objetos tienen el mismo origen solo cuando el esquema, el nombre de host y el puerto coinciden.
https://developer.mozilla.org/en-US/docs/Glossary/Origin
Dado que en su ejemplo tiene dos nombres de host diferentes, son orígenes separados y, por lo tanto, no pueden acceder al almacenamiento local de los demás.