Estoy usando la autorización de Google a través de Firebase y también funciona correctamente, pero ¿qué debo hacer para obtener las credenciales del usuario en la base de datos en tiempo real de Firebase tan pronto como el usuario inicie sesión en el sitio web?
No hay forma de que su sitio web obtenga las credenciales del usuario de Google Authentication. Eso sería un gran riesgo de seguridad.
Por lo general, tampoco es necesario almacenar las credenciales del usuario en su propia base de datos. Firebase ya almacena las credenciales del usuario (de forma segura) en el propio cliente y las restaura cuando la página se vuelve a cargar.