Entonces, ¿está tratando de mostrar la hora en que se hizo clic en el botón y mostrárselo al remitente / destinatario en su hora local?

Si es así, debería poder usar el constructor de fecha de la siguiente manera:

 const date = new Date();

Eso le dará la hora UTC. Para convertir a la hora local, puede usar el método .toLocaleTimeString() . Esto registraría su hora local en formato de EE. UU.:

 const date = new Date(); console.log(date.toLocaleTimeString('en-US'));

Entonces, lo que podría hacer es tener un detector de eventos en el botón y, cuando se haga clic en el botón, crear una nueva fecha y convertirla a la hora local.

 const button = document.querySelector('button'); const par = document.querySelector('p') button.addEventListener('click', () => { const date = new Date(); const local = date.toLocaleTimeString('en-US'); par.innerHTML = local })

 <button> Click me </button> <p> </p>

JSFiddle: https://jsfiddle.net/f198wvdt/2/

¿Es esto en la línea de lo que estás buscando?