Debo hacer una carpeta node_modules en cada uno de ellos para sus respectivas dependencias o si debo crear solo uno e instalar todos los paquetes allí.

Como tiene client - Frontend y server - Backend, que son dos lados diferentes de las cosas y tendrán sus propias dependencias con package.json . Es posible que esté instalando algunos paquetes específicos que solo funcionan en el navegador y lo mismo para el entorno del lado del servidor.

Es bueno segregar ambos entornos para mantener las dependencias separadas. Debe consultar este enlace para ver las cosas en detalle.